Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y + y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

Étape 1.1.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

Étape 1.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x + x y$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

Étape 1.2.5

Multipliez $x$ par $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x + 1}{x}$ par $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $1 + y$ à partir de $x (1 + y)$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $(x + 1) y$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$