Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 7 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 7 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $6$ et $y$ par $19$ dans $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Étape 4.2

Simplifiez $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $6$ de $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Étape 4.2.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Étape 4.2.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$C = 19$

Étape 5

Remplacez $C$ par $19$ dans $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $19$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Étape 5.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

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Étape 5.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| 7 - x |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$