Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = y - \frac{1}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y - \frac{1}{y}$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y - \frac{1}{y}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{- \frac{1}{y}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{- \frac{1}{y}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- \frac{1}{y}}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{1}{x y}$

Étape 1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{y}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x y}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} - \frac{1}{x y}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{x y}$

Étape 1.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{x y}$

Étape 1.2.4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{x y}$

Étape 1.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{x y}$

Étape 1.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{x y}$

Étape 1.2.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{x y}$

Étape 1.2.4.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{x y}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y x}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (x)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y x}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $(y + 1) (y - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u = (y + 1) (y - 1)$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u = (y + 1) (y - 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y + 1$ et $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.4.2

Multipliez $y + 1$ par $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.1.1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Étape 2.2.1.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.8.2

Multipliez $y - 1$ par $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.8.3

Additionnez $y$ et $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Étape 2.2.1.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Étape 2.2.1.1.3.8.4.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Développez $(y + 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| y^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.3

Développez $(y + 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.3.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.4.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.4.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.4.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.4.3

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.4.1.3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1

Simplifiez $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}} x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.2

Développez $(y + 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.3.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.3.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.3.3

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} x^{2}$ .

$| y^{2} - 1 | = x^{2} e^{2 C}$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 1 = \pm x^{2} e^{2 C}$

Étape 3.7.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} + 1$

Étape 3.7.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} + 1}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C + 1}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$