Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{x}{y}$ .

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d x}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d x}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ par $- y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ par $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d x}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ comme ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

Étape 2

Laissez $V = \frac{x}{y}$ . Remplacez $\frac{x}{y}$ par $V$ .

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{x}{y}$ pour $x$ .

$x = V y$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $x = V y$ par rapport à $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d x}{d y}$ par $y \frac{d V}{d y} + V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d y}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V^{2} + V + 1 - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ par $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $V^{2} + 1$ .

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Étape 6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $V^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ par rapport à $V$ est $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

Étape 6.3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $V$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

Étape 8

Résolvez $\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ pour $x$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\tan (\ln (| y |) + C) y$ .

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$