Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(1 + x^{2}) y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Étape 1.6

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $1$ et $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Étape 1.9

Supprimez les parenthèses.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Étape 1.10

Déplacez $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 5.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.4.2

Simplifiez

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Étape 5.4.2.1

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.4.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.4.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ par $1 + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$