Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Étape 6.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Étape 6.3.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Étape 6.4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Étape 6.5

Réécrivez $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ comme $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $- \cos (x)$ par $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$