Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = - 2 x^{3}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 x d x}$

Étape 1.2

Intégrez $2 x$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int x d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{2}} y = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{2}} y = - 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 6.2

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{u}{2}$ et $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{2}} y = - 2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{- 2}{2} \int u e^{u} d u$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int u e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int u e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int u e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{x^{2}} y = \frac{- 1}{1} \int u e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{x^{2}} y = - \int u e^{u} d u$

Étape 6.6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 6.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 6.8

Simplifiez

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 6.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Étape 6.10

Simplifiez

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Étape 6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}}) - - e^{x^{2}} + C$

Étape 6.10.2

Multipliez $- - e^{x^{2}}$ .

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Étape 6.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + 1 e^{x^{2}} + C$

Étape 6.10.2.2

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = - x^{2} + 1 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$