Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81)$ , $y (\ln (3)) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Alors $d u_{2} = 4 e^{4 t} d t$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = e^{4 t} d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $e^{4 t} - 81$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} - 81]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 t} - 81$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [e^{4 t}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 4 t$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 t$ .

$e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.3.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 t}$ .

$4 e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- 81]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 81$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $t$ est $0$ .

$4 e^{4 t} + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $4 e^{4 t}$ et $0$ .

$4 e^{4 t}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Associez $\sin (u_{2})$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{4 t} - 81$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{4 t} - 81) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $\ln (3)$ et $y$ par $0$ dans $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ .

$0 = - \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$ .

$- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Simplifiez $4 \ln (3)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$- \cos (e^{\ln (3^{4})} - 81) + K = 0$

Étape 4.2.1.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$- \cos (3^{4} - 81) + K = 0$

Étape 4.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- \cos (81 - 81) + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $81$ de $81$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Étape 4.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + K = 0$

Étape 4.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $1$ dans $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $1$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + 1$