Calcul infinitésimal Exemples

$x d y - y^{2} d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $y^{2} d x$ aux deux côtés de l’équation.

$x d y = y^{2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y^{2}} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x (y^{2})} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x y^{2}} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} x} y^{2} d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} x} y^{2} d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \ln (| x |) y + C y$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| x |) y + C y$ .

$- 1 = y \ln (| x |) + C y$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $y \ln (| x |) + C y = - 1$ .

$y \ln (| x |) + C y = - 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (| x |) + C y$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $C y$ .

$y \ln (| x |) + y C = - 1$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (| x |) + y C$ .

$y (\ln (| x |) + C) = - 1$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y (\ln (| x |) + C) = - 1$ par $\ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (\ln (| x |) + C) = - 1$ par $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (| x |) + C$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$