Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.5

Divisez $\frac{1}{2} x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

Étape 7

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ .

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

Étape 8

Résolvez $C$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

Étape 8.2

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 2$

Étape 8.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.3.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 8.3.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 8.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$C = \frac{4 - 1}{2}$

Étape 8.3.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$C = \frac{3}{2}$

Étape 9

Remplacez $C$ par $\frac{3}{2}$ dans $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Remplacez $C$ par $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 9.2.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$