Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d E}{d t} = 30 - 10 t$ , $E (2) = 72$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d E = (30 - 10 t) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d E = \int 30 - 10 t d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$E + C_{1} = \int 30 - 10 t d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$E + C_{1} = \int 30 d t + \int - 10 t d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} + \int - 10 t d t$

Étape 2.3.3

Comme $- 10$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 10$ en dehors de l’intégrale.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 \int t d t$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$E + C_{1} = 30 t - 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 10}{2} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 5}{1} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.4

Divisez $- 5$ par $1$ .

$E + C_{1} = 30 t - 5 t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$E + C_{1} = - 5 t^{2} + 30 t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $2$ et $E$ par $72$ dans $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ .

$72 = - 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$ .

$- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$

Étape 4.2

Simplifiez $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 5 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$- 20 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $30$ par $2$ .

$- 20 + 60 + K = 72$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 20$ et $60$ .

$40 + K = 72$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $40$ des deux côtés de l’équation.

$K = 72 - 40$

Étape 4.3.2

Soustrayez $40$ de $72$ .

$K = 32$

Étape 5

Remplacez $K$ par $32$ dans $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $32$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + 32$