Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{4} - x + y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} - x + y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Comme $x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{4}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 1$

Étape 1.6

Associez des termes.

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Étape 1.6.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Étape 1.6.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$1 = - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- x$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{4} - x + y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{4} - x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{4} - x + y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $- x$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Étape 8.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{y}{x} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y}{x}$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.5.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x^{4} - x + y)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} - - x - y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 12.1.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + 1 x - y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + x - y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $y - x^{4} + x - y$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x + 0}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- x^{4} + x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4} + x$ .

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Étape 12.1.1.5.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x^{1}}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{3}) + x \cdot 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2

Réécrivez $- x^{3}$ comme ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1^{3})}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = - x$ et $b = 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.5

Simplifiez

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Étape 12.1.1.5.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.5.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 12.1.1.5.1.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.5.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.5.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.5.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 12.1.1.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Étape 12.1.1.6

Pour écrire $\frac{d g}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Étape 12.1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d g}{d x} x + (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1.8.1

Développez $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.8.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.8.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 12.1.1.8.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.8.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.2.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.3

Associez les termes opposés dans $- x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1$ .

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Étape 12.1.1.8.3.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + 0 + x + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.3.2

Additionnez $- x^{3} - x$ et $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + x + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.3.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 0 + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.8.3.4

Additionnez $- x^{3}$ et $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1 = 0$

Étape 12.1.3

Résolvez l’équation pour $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.3.1.1

Ajoutez $x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} x + 1 = x^{3}$

Étape 12.1.3.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$

Étape 12.1.3.2

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 12.1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ par $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.1.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 12.1.3.2.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.3.2.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.3.1.1.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + \frac{- 1}{x}$

Étape 12.1.3.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x^{2} - \frac{1}{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 13.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - (\ln (| x |) + C)$

Étape 13.7

Simplifiez

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Étape 15

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{x^{3}}{3} - \ln (| x |) + C$