Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 4 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (5 x^{2} + 4 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 5 x^{2} + 4 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + 4 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 4 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + K$