Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 4 x^{2} y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 4 x^{2} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + 3 x^{2} v^{- 1} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 3 x^{2} \frac{1}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.1.2

Multipliez $3 x^{2} \frac{1}{v}$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x^{2} \frac{3}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.1.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x^{2} \cdot 3}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez $4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} v^{- 1 \cdot 2}$

Étape 6.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} v^{- 2}$

Étape 6.1.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} \frac{1}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.2.3

Multipliez $4 x^{2} \frac{1}{v^{2}}$ .

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Étape 6.1.1.2.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = x^{2} \frac{4}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.2.3.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = \frac{x^{2} \cdot 4}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Soustrayez $\frac{3 x^{2}}{v}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$

Étape 6.1.1.4

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2.2

Divisez $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ comme $- \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{\frac{3 x^{2}}{v}}{1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.4

Divisez $\frac{3 x^{2}}{v}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}$

Étape 6.1.1.5

Multipliez les deux côtés par $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6

Simplifiez

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Étape 6.1.1.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.6.2.1

Simplifiez $(- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.3.1

Factorisez $v$ à partir de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + 3 x^{2} v$

Étape 6.1.1.6.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1.6.2.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + 3 v x^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.4.2

Remettez dans l’ordre $- 4 x^{2}$ et $3 v x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 v x^{2} - 4 x^{2}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 v x^{2} - 4 x^{2}$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 v x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v) - 4 x^{2}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v) + x^{2} \cdot - 4$

Étape 6.1.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (3 v) + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v - 4)$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 v - 4}$ .

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} (x^{2} (3 v - 4))$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $3 v - 4$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $3 v - 4$ à partir de $x^{2} (3 v - 4)$ .

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} ((3 v - 4) x^{2})$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} ((3 v - 4) x^{2})$

Étape 6.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = x^{2}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 v - 4} d v = x^{2} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 v - 4} d v = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = 3 v - 4$ . Alors $d u = 3 d v$ , donc $\frac{1}{3} d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = 3 v - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $3 v - 4$ .

$\frac{d}{d v} [3 v - 4]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 v - 4$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [- 4]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [- 4]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $3 v$ par rapport à $v$ est $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 4]$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 4]$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [- 4]$

Étape 6.2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.2.2.1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $v$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 v - 4$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 6.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 6.3

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |)) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |))$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| 3 v - 4 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 v - 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\ln (| 3 v - 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Étape 6.3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 C$

Étape 6.3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 C$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 3 v - 4 |) = x^{3} + 3 C$

Étape 6.3.3

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 3 v - 4 |)} = e^{x^{3} + 3 C}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $\ln (| 3 v - 4 |) = x^{3} + 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{3} + 3 C} = | 3 v - 4 |$

Étape 6.3.5

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 3 v - 4 | = e^{x^{3} + 3 C}$ .

$| 3 v - 4 | = e^{x^{3} + 3 C}$

Étape 6.3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 v - 4 = \pm e^{x^{3} + 3 C}$

Étape 6.3.5.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$

Étape 6.3.5.4

Divisez chaque terme dans $3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$ par $3$ .

$\frac{3 v}{3} = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 6.3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 v}{3} = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 6.3.5.4.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 6.3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C} + 4}{3}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + C} + 4}{3}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $e^{x^{3} + C}$ comme $e^{x^{3}} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{x^{3}} e^{C} + 4}{3}$

Étape 6.4.3

Remettez dans l’ordre $e^{x^{3}}$ et $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{x^{3}} + 4}{3}$

Étape 6.4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = \frac{C e^{x^{3}} + 4}{3}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = \frac{C e^{x^{3}} + 4}{3}$