Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x e^{- y}$

Étape 1

Laissez $v = e^{- y}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{- y}$ par $v$ .

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $e^{- y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- y')$

Étape 2.4

Réorganisez les facteurs de $e^{- y} (- y')$ .

$\frac{d v}{d x} = - e^{- y} y'$

Étape 3

Remplacez $e^{- y}$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v y'$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$

Étape 5

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

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Étape 5.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ par $- \frac{v}{x}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ par $- \frac{v}{x}$ .

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v}$ dans le numérateur.

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{v}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \frac{d v}{d x}$ .

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 5.1.2.1.2.1

Factorisez $v$ à partir de $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.4

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.5

Multipliez $3 (- \frac{v}{x})$ .

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Étape 5.1.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 3 \frac{v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.5.2

Associez $- 3$ et $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{v}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v \frac{- v}{x}$

Étape 5.1.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

Étape 5.1.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

Étape 5.1.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 v (- v)$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v \cdot v$

Étape 5.1.3.3

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v)$

Étape 5.1.3.4

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v^{1})$

Étape 5.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{1 + 1}$

Étape 5.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $v$ à partir de $- \frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 4 v^{2}$

Étape 5.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$

Étape 6

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $v$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 8

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 9

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 9.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 9.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 10

Remplacez $\frac{d v}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $v$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 11

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 11.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 11.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 11.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 11.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.4

Multipliez $v^{- 1}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.1.2.1.4.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.4.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.5

Simplifiez $- \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.6

Associez $v$ et $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 3}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.7

Déplacez $3$ à gauche de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 \cdot v}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.8

Multipliez $- \frac{3 v}{x} \cdot - 1$ .

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Étape 11.1.1.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.2.1.8.2

Multipliez $\frac{3 v}{x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 \cdot - 1 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Étape 11.1.1.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Étape 11.1.1.3.3

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 11.1.1.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Étape 11.1.1.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 2} v^{2}$

Étape 11.1.1.3.4

Multipliez $v^{- 2}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.1.3.4.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 (v^{2} v^{- 2})$

Étape 11.1.1.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{2 - 2}$

Étape 11.1.1.3.4.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{0}$

Étape 11.1.1.3.5

Simplifiez $4 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4$

Étape 11.1.2

Factorisez $v$ à partir de $\frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{3}{x} = 4$

Étape 11.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3}{x} v = 4$

Étape 11.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Étape 11.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Étape 11.2.2

Intégrez $\frac{3}{x}$ .

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Étape 11.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 11.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Étape 11.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 \ln (x)}$

Étape 11.2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{3})}$

Étape 11.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{3}$

Étape 11.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{3}$ .

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Étape 11.3.1

Multipliez chaque terme par $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} v) = x^{3} \cdot 4$

Étape 11.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1

Associez $\frac{3}{x}$ et $v$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 11.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Étape 11.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Étape 11.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{2} (3 v) = x^{3} \cdot 4$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = x^{3} \cdot 4$

Étape 11.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = 4 x^{3}$

Étape 11.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{3} v] = 4 x^{3}$

Étape 11.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} v] d x = \int 4 x^{3} d x$

Étape 11.6

Intégrez le côté gauche.

$x^{3} v = \int 4 x^{3} d x$

Étape 11.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} v = 4 \int x^{3} d x$

Étape 11.7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 11.7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.7.3.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 11.7.3.2

Simplifiez

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Étape 11.7.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 11.7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 11.7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} v = 1 x^{4} + C$

Étape 11.7.3.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{3} v = x^{4} + C$

Étape 11.8

Divisez chaque terme dans $x^{3} v = x^{4} + C$ par $x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 11.8.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} v = x^{4} + C$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 11.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 11.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 11.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 11.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.8.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{3}$ .

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Étape 11.8.3.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 11.8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.8.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 11.8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 11.8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 11.8.3.1.2.4

Divisez $x$ par $1$ .

$v = x + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 12

Remplacez $v$ par $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $e^{- y}$ .

${(e^{- y})}^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 14

Résolvez $y$ .

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Étape 14.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Étape 14.2

Développez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Étape 14.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Étape 14.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$