Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 24$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Étape 2.3.8

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Étape 2.3.9.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Étape 2.3.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Étape 2.3.9.2

Simplifiez

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $3$ et $y$ par $- 6$ dans $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ .

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ .

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Étape 4.2

Simplifiez $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Étape 4.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Étape 4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $8$ par $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $27$ de $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $108$ de $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 54$ et $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $30$ aux deux côtés de l’équation.

$K = - 6 + 30$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 6$ et $30$ .

$K = 24$

Étape 5

Remplacez $K$ par $24$ dans $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $24$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$