Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 6 \sqrt{y}$ , $y (1) = 16$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (6 \sqrt{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) \sqrt{y}$

Étape 1.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} \sqrt{y}$

Étape 1.2.3.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Étape 1.2.4

Associez $6$ et $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Étape 1.2.5

Multipliez $\frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$ .

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Étape 1.2.5.1

Associez $\frac{6 \sqrt{y}}{y}$ et $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y} \sqrt{y}}{y}$

Étape 1.2.5.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y}$

Étape 1.2.5.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y}$

Étape 1.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y}$

Étape 1.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{2}}{y}$

Étape 1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Étape 1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Étape 1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Étape 1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Étape 1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{1}}{y}$

Étape 1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Étape 1.2.7.2

Divisez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 6 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 6 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 6 d x$

Étape 2.2.1.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 6 d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 6 d x$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 6 d x$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 6 d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 6 d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 6 x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 3.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x}{1} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2.4

Divisez $3 x$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 3 x + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ .

$y = (3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Développez $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 x (3 x + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = 9 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4

Multipliez $3 x \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.4.1

Associez $3$ et $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + x \frac{3 K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4.2

Associez $x$ et $\frac{3 K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{x (3 K)}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 \cdot x K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + 3 \frac{K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.7

Associez $3$ et $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.8

Associez $\frac{3 K}{2}$ et $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.9.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Additionnez $\frac{3 x K}{2}$ et $\frac{3 K x}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Additionnez $\frac{3 K x}{2}$ et $\frac{3 K x}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.4

Simplifiez $9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Étape 3.4.1

Déplacez $9 x^{2}$ .

$y = 3 K x + \frac{K^{2}}{4} + 9 x^{2}$

Étape 3.4.2

Remettez dans l’ordre $3 K x$ et $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 3 K x + 9 x^{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = K + K x + 9 x^{2}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $16$ dans $y = K + K x + 9 x^{2}$ .

$16 = K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$ .

$K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Étape 6.2

Simplifiez $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $K$ par $1$ .

$K + K + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Étape 6.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$K + K + 9 \cdot 1 = 16$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$K + K + 9 = 16$

Étape 6.2.2

Additionnez $K$ et $K$ .

$2 K + 9 = 16$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$2 K = 16 - 9$

Étape 6.3.2

Soustrayez $9$ de $16$ .

$2 K = 7$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $2 K = 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $2 K = 7$ par $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Étape 7

Remplacez $K$ par $\frac{7}{2}$ dans $y = K + K x + 9 x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2} + K x + 9 x^{2}$