Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 3}$ ; and , $y (3) = 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (t + 2 e^{t - 3}) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 3} d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 3} d t$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 3} d t$

Étape 2.3.4

Laissez $u = t - 3$ . Puis $d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = t - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Étape 2.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.4.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $3$ et $y$ par $4$ dans $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 2 e^{0} + K = 4$

Étape 4.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{9}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Étape 4.2.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 + K = 4$

Étape 4.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Étape 4.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9 + 4}{2} + K = 4$

Étape 4.2.6.2

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{13}{2} + K = 4$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{13}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 4 - \frac{13}{2}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Étape 4.3.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 13}{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$K = \frac{8 - 13}{2}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $13$ de $8$ .

$K = \frac{- 5}{2}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{5}{2}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{5}{2}$ dans $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{5}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Étape 5.3

Pour écrire $2 e^{t - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.4

Associez $2 e^{t - 3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 3}}{2} - \frac{5}{2}$