Calcul infinitésimal Exemples

$x y d x + (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(1 + x^{2}) d y = - x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Étape 3.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Associez $\ln (| 1 + x^{2} |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.3

Pour écrire $\ln (| y |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.1

Associez $\ln (| y |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.5

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

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Étape 5.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.6.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.6.1.1.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Étape 5.6.1.2

Réécrivez $\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |) = C$

Étape 5.6.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({(y^{2} | 1 + x^{2} |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.4

Appliquez la règle de produit à $y^{2} | 1 + x^{2} |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.6.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (y^{1} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.6

Simplifiez

$\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Étape 5.8

Réécrivez $\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9

Résolvez $y$ .

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Étape 5.9.1

Réécrivez l’équation comme $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Étape 5.9.2

Divisez chaque terme dans $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ par ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 5.9.2.1

Divisez chaque terme dans $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ par ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.9.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$