Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

Étape 1

Soustrayez $5 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 5$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 5 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 5 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 5 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 5 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Étape 7.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Étape 7.3

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Étape 7.5

Laissez $u = - 5 x$ . Alors $d u = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 5$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Étape 7.6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 7.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Étape 7.8

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Étape 7.9.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Étape 7.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Étape 7.11

Simplifiez

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Étape 7.11.1

Réécrivez $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ comme $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Étape 7.11.2

Simplifiez

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Étape 7.11.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Étape 7.11.2.2

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Étape 7.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Étape 7.13

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Étape 7.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Étape 8.1.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Étape 8.1.3

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ par $e^{- 5 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ par $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 5 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ par $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- 5 x}$ .

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Étape 8.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3.1.5

Multipliez $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ par $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $e^{- 5 x}$ .

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Étape 8.2.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 8.2.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $3$ dans $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ .

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ .

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Étape 10.2

Simplifiez $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ .

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Étape 10.2.1

Divisez $0$ par $5$ .

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Étape 10.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.2.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Étape 10.2.2.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

Étape 10.2.2.3

Divisez $C$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

Étape 10.2.3

Soustrayez $\frac{1}{25}$ de $0$ .

$- \frac{1}{25} + C = 3$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Ajoutez $\frac{1}{25}$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

Étape 10.3.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

Étape 10.3.3

Associez $3$ et $\frac{25}{25}$ .

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

Étape 10.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

Étape 10.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.5.1

Multipliez $3$ par $25$ .

$C = \frac{75 + 1}{25}$

Étape 10.3.5.2

Additionnez $75$ et $1$ .

$C = \frac{76}{25}$

Étape 11

Remplacez $C$ par $\frac{76}{25}$ dans $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $\frac{76}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

Étape 11.2.2

Associez.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

Étape 11.2.3

Multipliez $76$ par $1$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$