Calcul infinitésimal Exemples

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ par $e^{t}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ par $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Associez.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Inversez l’exposant de $e^{t}$ et placez-le hors du dénominateur.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{t})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Étape 2.3.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Étape 2.3.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Laissez $u = - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- t} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- y e^{- t} + K y = - 1$ .

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{- t} + K y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{- t}$ .

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 e^{- t}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $y (- e^{- t} + K) = - 1$ par $- e^{- t} + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- e^{- t} + K) = - 1$ par $- e^{- t} + K$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- e^{- t} + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Étape 3.3.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{- t}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Étape 3.3.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Étape 3.3.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Étape 3.3.4.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.3.5.1

Réécrivez $- (e^{- t} - K)$ comme $- 1 (e^{- t} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Étape 3.3.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Étape 3.3.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Étape 3.3.4.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{e^{- t} - K}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $\frac{1}{4}$ dans $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ .

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Étape 6.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1 + K, 4$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.3.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.3.4

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2$

Étape 6.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 6.3.6

Le facteur pour $1 + K$ est $1 + K$ lui-même.

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ se produit $1$ fois.

Étape 6.3.7

Le plus petit multiple commun de $1 + K$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$1 + K$

Étape 6.3.8

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$4 (1 + K)$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ par $4 (1 + K)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ par $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Étape 6.4.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Étape 6.4.2.3

Annulez le facteur commun de $1 + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Étape 6.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Étape 6.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = 1 + K$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $1 + K = 4$ .

$1 + K = 4$

Étape 6.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = 4 - 1$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$K = 3$

Étape 7

Remplacez $K$ par $3$ dans $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez $K$ par $3$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$