Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + 2 y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.5.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} + y = x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

Étape 3.1.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - x^{2} - K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$