Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - (y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + (- y^{3} - 1 \cdot 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} + (- y^{3} - 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $- y^{3} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $- 2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 = - x^{2}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ par $- y^{3} - 2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ par $- y^{3} - 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- y^{3} - 2$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Étape 1.1.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 2}$

Étape 1.1.4.3.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 1 (2)}$

Étape 1.1.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3} + 2)}$

Étape 1.1.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.5.1

Réécrivez $- (y^{3} + 2)$ comme $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- 1 (y^{3} + 2)}$

Étape 1.1.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Étape 1.1.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Étape 1.1.4.3.5.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y^{3} + 2$ .

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y^{3} + 2$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$(y^{3} + 2) d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{3} + 2 d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{3} d y + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + K$