Calcul infinitésimal Exemples

$x d x + \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x d x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ comme $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2}}$