Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Étape 1.4.2

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

Étape 1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

Étape 1.5.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 7.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Étape 7.4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 7.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 7.7

Simplifiez

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Étape 7.7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 7.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 7.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 7.9

Réécrivez $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ comme $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 7.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{2} x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- \frac{1}{4}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $\frac{1}{2} x$ .

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Étape 8.3.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.2

Pour écrire $x \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.3

Associez $x \frac{1}{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.4

Pour écrire $\frac{2 x - 1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.5

Pour écrire $\frac{C}{e^{2 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 8.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4 e^{2 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.6.1

Multipliez $\frac{2 x - 1}{4}$ par $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 8.3.6.2

Multipliez $\frac{C}{e^{2 x}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

Étape 8.3.6.3

Réorganisez les facteurs de $e^{2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Étape 8.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Étape 8.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Étape 8.3.8.2

Réécrivez $- 1 e^{2 x}$ comme $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Étape 8.3.8.3

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$