Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 7 x + 9$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 4$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 4 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{4 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{4 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{4 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (7 x) + e^{4 x} \cdot 9$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (7 x) + e^{4 x} \cdot 9$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 9$

Étape 2.3.2

Déplacez $9$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + 9 e^{4 x}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + 9 e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{4 x} y = \int 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{4 x} y = \int 7 x e^{4 x} d x + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 7 \int x e^{4 x} d x + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 7 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.4.2

Associez $x$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.4.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x)) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.6

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.6.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.6.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 6.6.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.6.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.7

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.9

Simplifiez

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Étape 6.9.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.9.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.10

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int 9 e^{4 x} d x$

Étape 6.11

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int e^{4 x} d x$

Étape 6.12

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.12.1

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.12.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 6.12.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.12.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6.12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 6.13

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Étape 6.14

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 6.15

Associez $\frac{1}{4}$ et $9$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{9}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6.16

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{9}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 6.17

Simplifiez

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) + \frac{9}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 6.18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 6.18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + \frac{9}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 6.18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + \frac{9}{4} e^{4 x} + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $e^{4 x}$ et $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$

Étape 7.1.2

Supprimez les parenthèses.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot x e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$ par $e^{4 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$ par $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 x}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{4} (x e^{4 x})$ .

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Étape 7.2.3.2.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{7 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.1.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y = \frac{7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{7 \frac{x e^{4 x}}{4} + 7 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.3

Associez $7$ et $\frac{x e^{4 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} + 7 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.4

Multipliez $7 (- \frac{e^{4 x}}{16})$ .

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Étape 7.2.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} - 7 \frac{e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.4.2

Associez $- 7$ et $\frac{e^{4 x}}{16}$ .

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} + \frac{- 7 e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.6

Associez $\frac{9}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.3

Pour écrire $\frac{9 e^{4 x}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.4.1

Multipliez $\frac{9 e^{4 x}}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 7.2.3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{- 7 e^{4 x} + 9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.5.2.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $- 7 e^{4 x} + 9 e^{4 x} \cdot 4$ .

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Étape 7.2.3.5.2.1.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $- 7 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot - 7 + 9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5.2.1.1.2

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $9 e^{4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot - 7 + e^{4 x} (9 \cdot 4)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5.2.1.1.3

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $e^{4 x} \cdot - 7 + e^{4 x} (9 \cdot 4)$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} (- 7 + 9 \cdot 4)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5.2.1.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} (- 7 + 36)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5.2.1.3

Additionnez $- 7$ et $36$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot 29}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5.2.2

Déplacez $29$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.6.1

Pour écrire $\frac{7 x e^{4 x}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{7 x e^{4 x}}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4}{16} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4 + 29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.6.4.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $7 x e^{4 x} \cdot 4 + 29 e^{4 x}$ .

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Étape 7.2.3.6.4.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $7 x e^{4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4) + 29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.4.1.2

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $29 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 29}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.4.1.3

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $e^{4 x} (7 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 29$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4 + 29)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.4.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.5

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.6

Associez $C$ et $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29) + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x) + e^{4 x} \cdot 29 + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 29 + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.8.3

Déplacez $29$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + 29 \cdot e^{4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.8.4

Déplacez $16$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16}$ par $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$ .

$y = \frac{28 x e^{4 x} + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$