Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Multipliez $- (3 y + 7)$ .

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.6

Appliquez la règle de la constante.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

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Étape 2.2.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.7.2

Simplifiez

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.2.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Étape 3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Étape 3.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

Étape 3.2.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 y^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Étape 3.3.3

Déplacez $- 14 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

Étape 3.3.4

Déplacez $2 x$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Étape 3.3.5

Remettez dans l’ordre $- 3 y^{2}$ et $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = - 14$ et $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.4

Simplifiez

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Étape 3.6.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.4.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $- 24 K$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.4

Factorisez $4$ à partir de $24 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ comme $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ .

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Étape 3.6.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.6.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.8

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

Étape 3.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$