Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $r^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $r^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $r^{- 2}$ par rapport à $r$ est $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- r^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{θ}$ par rapport à $θ$ est $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$r, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$r$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ par $r$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ par $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{r}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $r$ à partir de $r \ln (| θ |) + C r$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $r$ à partir de $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $r$ à partir de $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ par $\ln (| θ |) + C$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ par $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (| θ |) + C$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $θ$ par $1$ et $r$ par $2$ dans $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Étape 5

Résolvez $C$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Étape 5.2

Factorisez chaque terme.

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Étape 5.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Étape 5.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Étape 5.2.3

Additionnez $0$ et $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$C, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$C$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{C} = 2$ par $C$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{C} = 2$ par $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $C$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{C}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = 2 C$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $2 C = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 C = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Remplacez $C$ par $- \frac{1}{2}$ dans $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $C$ par $- \frac{1}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Pour écrire $\ln (| θ |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2

Associez $\ln (| θ |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

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Étape 6.2.4.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| θ |)$ et $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Étape 6.2.4.1.2

Simplifiez $2 \cdot \ln (| θ |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Étape 6.2.4.2

Retirez la valeur absolue dans ${| θ |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ par $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$