Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 2.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 2.3.4

Comme la dérivée de $- \cot (t)$ est $\csc^{2} (t)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (t)$ est $- \cot (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $\frac{π}{2}$ et $v$ par $- 7$ dans $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ .

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ .

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Étape 4.2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Étape 4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Étape 4.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Étape 4.2.1.1.4

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$π^{2} - 0 + K = - 7$

Étape 4.2.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π^{2} + 0 + K = - 7$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $π^{2}$ et $0$ .

$π^{2} + K = - 7$

Étape 4.3

Soustrayez $π^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 7 - π^{2}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 7 - π^{2}$ dans $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 7 - π^{2}$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$