Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 1.4.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 1.5

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{y}{x}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} x$

Étape 1.7

Factorisez $y$ à partir de $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2} x$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{y}{x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.4

Associez.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.5

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.6

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.2.6.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 3.4

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{1 + \frac{1}{2}}$

Étape 3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] d x = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{\frac{1}{2}} y = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{5}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $10$ .

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Étape 7.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 (1)}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ par $x^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez $x^{\frac{5}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.1.2.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 + 5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.4

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{4}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.5

Divisez $4$ par $2$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.3.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$