Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y (2 - y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y (2 - y)}$ .

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (2 - y)} (y (2 - y))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y (2 - y)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (2 - y)} (y (2 - y))$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y (2 - y)} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y (2 - y)} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.2.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $y (2 - y)$ .

$\frac{1 (y (2 - y))}{y (2 - y)} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (y (2 - y))}{y (2 - y)} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (2 - y)}{2 - y} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2 - y$ .

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Étape 2.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 - y)}{2 - y} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.5.1.2

Divisez $A (2 - y)$ par $1$ .

$1 = A (2 - y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 2 + A (- y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 2 \cdot A - A y + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.5.5

Annulez le facteur commun de $2 - y$ .

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Étape 2.2.1.1.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = 2 A - A y + \frac{B (y (2 - y))}{2 - y}$

Étape 2.2.1.1.5.5.2

Divisez $(B) (y)$ par $1$ .

$1 = 2 A - A y + (B) (y)$

$1 = 2 A - A y + B y$

Étape 2.2.1.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.6.1

Déplacez $A$ .

$1 = 2 A - y A + B y$

Étape 2.2.1.1.6.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $y$ .

$1 = 2 A - y A + B y$

Étape 2.2.1.1.6.3

Déplacez $2 A$ .

$1 = - y A + B y + 2 A$

Étape 2.2.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $y$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 2 A$

Étape 2.2.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

Étape 2.2.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.2.1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = 2 A$ .

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Étape 2.2.1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $2 A = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 A = 1$ par $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.2.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 2.2.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + B$ par $\frac{1}{2}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.2.2.1

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

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Étape 2.2.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.3.3.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{y} + \frac{B}{2 - y}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.2.1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Étape 2.2.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{2 y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Étape 2.2.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 - y}$

Étape 2.2.1.5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 - y}$ .

$\int \frac{1}{2 y} + \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 - y} d y = \int d x$

Étape 2.2.6

Laissez $u = 2 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.6.1

Laissez $u = 2 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.6.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.6.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Étape 2.2.9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2})) = \int d x$

Étape 2.2.10

Simplifiez

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Étape 2.2.10.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{3} = \int d x$

Étape 2.2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Étape 2.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Étape 2.2.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) + C_{3} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) = x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| y |)$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) = x + C$

Étape 3.1.1.2

Associez $\ln (| 2 - y |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$ par $2$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (| y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 2 - y |)}{2}$ dans le numérateur.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = 2 \cdot x + C \cdot 2$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = 2 x + 2 C$

Étape 3.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |}) = 2 x + 2 C$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |})} = e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |}) = 2 x + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = \frac{| y |}{| 2 - y |}$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| 2 - y |} = e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{| y |}{| 2 - y |} = e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.2

Multipliez les deux côtés par $| 2 - y |$ .

$\frac{| y |}{| 2 - y |} | 2 - y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.1

Annulez le facteur commun de $| 2 - y |$ .

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Étape 3.6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| 2 - y |} | 2 - y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Étape 3.6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Étape 3.6.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.4.1

Réécrivez l’équation comme $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ .

$e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$

Étape 3.6.4.2

Divisez chaque terme dans $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ par $e^{2 x + 2 C}$ et simplifiez.

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Étape 3.6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ par $e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 2 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Étape 3.6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x + 2 C}$ .

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Étape 3.6.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 2 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Étape 3.6.4.2.2.1.2

Divisez $| 2 - y |$ par $1$ .

$| 2 - y | = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Étape 3.6.4.3

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (2 - y) = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (2 - y) = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

Étape 3.6.4.4

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

Étape 3.6.4.5

Résolvez $2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ pour $y$ .

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Étape 3.6.4.5.1

Multipliez les deux côtés par $e^{2 x + 2 C}$ .

$(2 - y) e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.5.2

Simplifiez

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Étape 3.6.4.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.4.5.2.1.1

Simplifiez $(2 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

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Étape 3.6.4.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.5.2.1.1.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Remettez dans l’ordre $2 e^{2 C + 2 x}$ et $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x + 2 C}$ .

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Étape 3.6.4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = y$

Étape 3.6.4.5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.4.5.3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} - y = 0$

Étape 3.6.4.5.3.2

Soustrayez $2 e^{2 C + 2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$- y e^{2 C + 2 x} - y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{2 C + 2 x} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.5.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) - y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.5.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1 = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.5.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.5.3.4

Réécrivez $- 1 e^{2 C + 2 x}$ comme $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.5.3.5

Divisez chaque terme dans $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ par $- e^{2 C + 2 x} - 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ par $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Étape 3.6.4.5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Étape 3.6.4.5.3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.5.3.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.5.3.5.3.5.1

Réécrivez $- (e^{2 C + 2 x} + 1)$ comme $- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Étape 3.6.4.5.3.5.3.5.4

Multipliez $\frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$ par $1$ .

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Étape 3.6.4.6

Résolvez $2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ pour $y$ .

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Étape 3.6.4.6.1

Multipliez les deux côtés par $e^{2 x + 2 C}$ .

$(2 - y) e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.2.1.1

Simplifiez $(2 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.6.2.1.1.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Remettez dans l’ordre $2 e^{2 C + 2 x}$ et $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x + 2 C}$ .

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Étape 3.6.4.6.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ dans le numérateur.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{- y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{- y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6.4.6.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = - y$

Étape 3.6.4.6.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} + y = 0$

Étape 3.6.4.6.3.2

Soustrayez $2 e^{2 C + 2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$- y e^{2 C + 2 x} + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{2 C + 2 x} + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.3.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1 = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.3.4

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.5

Réécrivez $e^{2 C + 2 x}$ comme ${(e^{C + x})}^{2}$ .

$y (- {(e^{C + x})}^{2} + 1^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.6

Remettez dans l’ordre $- {(e^{C + x})}^{2}$ et $1^{2}$ .

$y (1^{2} - {(e^{C + x})}^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.7

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e^{C + x}$ .

$y ((1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Étape 3.6.4.6.3.8

Divisez chaque terme dans $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ par $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.8.1

Divisez chaque terme dans $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ par $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ .

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 3.6.4.6.3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.8.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e^{C + x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 3.6.4.6.3.8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 3.6.4.6.3.8.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e^{C + x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 3.6.4.6.3.8.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 3.6.4.6.3.8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.3.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 3.6.4.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{2 e^{C + 2 x}}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 e^{2 x + C}}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.3

Réécrivez $e^{2 x + C}$ comme $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{2 x} e^{C})}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{2 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{2 x + C} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.6

Réécrivez $e^{2 x + C}$ comme $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{2 x} e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $e^{2 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 x + C}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.9

Réécrivez $e^{2 x + C}$ comme $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{2 x} e^{C})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.10

Remettez dans l’ordre $e^{2 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{x + C}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.12

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{x} e^{C}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.13

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - e^{C + x})}$

Étape 4.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - e^{x + C})}$

Étape 4.15

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{x} e^{C}))}$

Étape 4.16

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{C} e^{x}))}$

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{C} e^{x}))}$