Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $4$ à gauche de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

Étape 3.4.5

Associez $3$ et $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.8.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 3.4.8.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 3.4.8.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.8.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.8.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.8.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.8.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 3.4.8.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 3.4.9.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 3.4.9.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.4.9.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 3.4.9.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 3.4.9.5

Associez les exposants.

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Étape 3.4.9.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.9.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

Étape 3.4.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.10.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.10.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $\sqrt[3]{15}$ dans $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ .

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt[3]{15}$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

Étape 6.4

Résolvez $K$ .

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Étape 6.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ comme ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

Simplifiez ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2.2.1.3

Multipliez.

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Étape 6.4.2.2.1.3.1

Multipliez $6$ par $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2.2.1.3.2

Simplifiez

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1

Simplifiez ${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{15}$ .

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Étape 6.4.2.3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Étape 6.4.2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ comme $15$ .

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Étape 6.4.2.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{15}$ comme $15^{\frac{1}{3}}$ .

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 6.4.2.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 6.4.2.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Étape 6.4.2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Étape 6.4.2.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

Étape 6.4.2.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

Étape 6.4.2.3.1.3

Multipliez $8$ par $15$ .

$96 + 6 K = 120$

Étape 6.4.3

Résolvez $K$ .

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Étape 6.4.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.3.1.1

Soustrayez $96$ des deux côtés de l’équation.

$6 K = 120 - 96$

Étape 6.4.3.1.2

Soustrayez $96$ de $120$ .

$6 K = 24$

Étape 6.4.3.2

Divisez chaque terme dans $6 K = 24$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 6.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 K = 24$ par $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 6.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 6.4.3.2.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{24}{6}$

Étape 6.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.2.3.1

Divisez $24$ par $6$ .

$K = 4$

Étape 7

Remplacez $K$ par $4$ dans $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$