Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sin (2 x + π)$ , $y (0) = 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sin (2 x + π) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sin (2 x + π) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (2 x + π) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 x + π$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 x + π$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + π]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $6$ dans $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ .

$6 = - \frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0 + π) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (0 + π) + K = 6$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $π$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) + K = 6$

Étape 4.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) + K = 6$

Étape 4.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 6$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + K = 6$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + K = 6$

Étape 4.2.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + K = 6$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 6 - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$K = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{6 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$K = \frac{12 - 1}{2}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $1$ de $12$ .

$K = \frac{11}{2}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{11}{2}$ dans $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + \frac{11}{2}$

Étape 5.2

Associez $\cos (2 x + π)$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + \frac{11}{2}$