Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Étape 2

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x v$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Étape 2.4

Remplacez $v'$ par $\frac{d v}{d x}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $v$ et $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Étape 2.6

Multipliez $v$ par $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x v = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x v = C_{1}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x v = C_{1}$ par $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Étape 9

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Étape 10

Intégrez les deux côtés.

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Étape 10.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Étape 10.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Étape 10.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Comme $C_{1}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{1}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 10.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 10.3.3

Simplifiez

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 10.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$