Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

Étape 1.1.2

Soustrayez $2 (- y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation avec des coefficients isolés.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{\int 2 d x}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

Étape 3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Étape 7.5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Étape 7.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 7.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 7.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 7.10

Réécrivez $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 7.12

Simplifiez

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Étape 7.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 7.12.1.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 7.12.1.3

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Étape 7.12.4.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Étape 7.12.4.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $2 x$ par $1$ .

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$