Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5}{5 x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 5}$ .

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y - 5$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 5} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 5} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y - 5$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y - 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 5$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 5$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Étape 3.3

Pour écrire $\ln (| y - 5 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 5 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez $\ln (| y - 5 |)$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Étape 3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Étape 3.5

Déplacez $5$ à gauche de $\ln (| y - 5 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Étape 3.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1

Simplifiez $\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

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Étape 3.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1.1

Simplifiez $5 \ln (| y - 5 |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y - 5 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Étape 3.6.1.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Étape 3.6.1.2

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}) = C$

Étape 3.6.1.3

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$\ln ({(\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Étape 3.6.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Étape 3.6.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 3.6.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Étape 3.6.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.6.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Étape 3.6.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Étape 3.6.1.5.2

Simplifiez

$\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Étape 3.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Étape 3.8

Réécrivez $\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 3.9

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Étape 3.9.2

Multipliez les deux côtés par ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Étape 3.9.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.3.1

Annulez le facteur commun de ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 3.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Étape 3.9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y - 5 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Étape 3.9.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 5 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Étape 3.9.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$