Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 3 y^{2}$ par $2 x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 3 y^{2}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y (3 y)}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y (3 y)}{y (2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y (3 y)}{y (2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{3 y}{2 x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{x}{2 y}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2 x}$

Étape 1.2.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{3 y}{2 x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{3 y}{2 x}$

Étape 1.3

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{3 y}{2 x}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{3}{2} V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{3}{2} V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{3}{2} V$

Étape 6.1.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{3}{2} V$

Étape 6.1.1.1.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $V$ à partir de $3 V - V \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Factorisez $V$ à partir de $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.2

Multipliez $V$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.1

Pour écrire $\frac{V}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Multipliez $\frac{V}{2}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V^{2}}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 V$ .

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2 V$ à partir de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V (x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $1 + V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = 1 + V^{2}$ . Alors $d u = 2 V d V$ , donc $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = 1 + V^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + V^{2}$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Étape 6.2.2.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 V$ .

$2 V$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez

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Étape 6.2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + V^{2}$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.3

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}$

Étape 6.3.5

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$

Étape 6.3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 6.3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + V^{2} | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.4

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x |$ .

$| 1 + V^{2} | = | x | e^{C}$

Étape 6.3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm | x | e^{C}$

Étape 6.3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x | e^{C}$ .

$1 + V^{2} = \pm e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$V^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

Étape 6.3.5.4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

Étape 6.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$