Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ par $1 + \sin^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ par $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + \sin^{2} (x)$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 y}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- 2 y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{2 y}$ par $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Alors $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.1.1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1.4.1

Additionnez $0$ et $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.1.4.2

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.3.1.1.4.3

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 2.3.1.1.4.4

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.1.4.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Étape 3.5

Développez $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ .

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ .

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.3

Additionnez $0$ et $C$ .

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\ln (C) = 2$

Étape 6.4

Pour résoudre $C$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

Étape 6.5

Réécrivez $\ln (C) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = C$

Étape 6.6

Réécrivez l’équation comme $C = e^{2}$ .

$C = e^{2}$

Étape 7

Remplacez $C$ par $e^{2}$ dans $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $e^{2}$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

Étape 7.2

Réécrivez $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.4

Simplifiez $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$