Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x^{2} \sin (x) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Étape 4.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Étape 4.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Étape 4.3.4.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Réécrivez $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ comme $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Étape 5.2.2.1.1.2

Multipliez $- (- x \cos (x))$ .

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Étape 5.2.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Étape 5.2.2.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Étape 5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Étape 5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Étape 5.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Étape 5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Étape 5.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Étape 5.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$