Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{2} y + x^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} y + x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (- 3 y) + x^{2}$

Étape 1.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (- 3 y) + x^{2} \cdot 1$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- 3 y) + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (- 3 y + 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- 3 y + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 y + 1} (x^{2} (- 3 y + 1))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $- 3 y + 1$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $- 3 y + 1$ à partir de $x^{2} (- 3 y + 1)$ .

$\frac{1}{- 3 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 y + 1} ((- 3 y + 1) x^{2})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 3 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 y + 1} ((- 3 y + 1) x^{2})$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 3 y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- 3 y + 1} d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- 3 y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = - 3 y + 1$ . Alors $d u = - 3 d y$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = - 3 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $- 3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- 3 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$- 3$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 y + 1$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 1 |)) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 1 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| - 3 y + 1 |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| - 3 y + 1 |)}{3}) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| - 3 y + 1 |)}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- \ln (| - 3 y + 1 |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| - 3 y + 1 |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 3 y + 1 |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| - 3 y + 1 |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| - 3 y + 1 |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| - 3 y + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| - 3 y + 1 |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\ln (| - 3 y + 1 |) = - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - 3 y + 1 |) = - 3 \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\ln (| - 3 y + 1 |) = 3 (- 1) \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| - 3 y + 1 |) = 3 \cdot - 1 \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| - 3 y + 1 |) = - x^{3} - 3 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - 3 y + 1 |)} = e^{- x^{3} - 3 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| - 3 y + 1 |) = - x^{3} - 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{3} - 3 C} = | - 3 y + 1 |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| - 3 y + 1 | = e^{- x^{3} - 3 C}$ .

$| - 3 y + 1 | = e^{- x^{3} - 3 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- 3 y + 1 = \pm e^{- x^{3} - 3 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 1}{- 3}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 1}{- 3}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 1}{- 3}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{3} + \frac{- 1}{- 3}$

Étape 3.5.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C} + 1}{3}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} + C} + 1}{3}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- x^{3} + C}$ comme $e^{- x^{3}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3}} e^{C} + 1}{3}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- x^{3}}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- x^{3}} + 1}{3}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C e^{- x^{3}} + 1}{3}$