Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 6.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 6.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 6.2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 6.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Étape 6.4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Simplifiez

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Étape 6.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cos (u)$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Étape 6.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Étape 6.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Associez $\cos (3 x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$