Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.3.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

Étape 2.3.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

Étape 2.3.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

Étape 2.3.1.1.1.4

Multipliez $x$ par $4 - x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

Étape 2.3.1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (4 - x)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.5

Annulez le facteur commun de $4 - x$ .

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Étape 2.3.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.5.2

Divisez $1 - 2 x$ par $1$ .

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.6

Remettez dans l’ordre $1$ et $- 2 x$ .

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.7.1.2

Divisez $A (4 - x)$ par $1$ .

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.7.3

Déplacez $4$ à gauche de $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.7.5

Annulez le facteur commun de $4 - x$ .

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Étape 2.3.1.1.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

Étape 2.3.1.1.7.5.2

Divisez $(B) (x)$ par $1$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

Étape 2.3.1.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.1.8.1

Déplacez $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Étape 2.3.1.1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Étape 2.3.1.1.8.3

Déplacez $4 A$ .

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

Étape 2.3.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.3.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 2 = - 1 A + B$

Étape 2.3.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 4 A$

Étape 2.3.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

Étape 2.3.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.3.1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = 4 A$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

Étape 2.3.1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Étape 2.3.1.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Étape 2.3.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $- 2 = - 1 A + B$ par $\frac{1}{4}$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.2.2.1

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{4})$ comme $- (\frac{1}{4})$ .

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3

Résolvez $B$ dans $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ .

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Étape 2.3.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{4} + B = - 2$ .

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1.3.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.3.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3.2.5.2

Additionnez $- 8$ et $1$ .

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

Étape 2.3.1.5.4

Multipliez $\frac{1}{4 - x}$ par $\frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

Étape 2.3.1.5.5

Déplacez $4$ à gauche de $4 - x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{7}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{7}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

Étape 2.3.7

Laissez $u = 4 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.7.1

Laissez $u = 4 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.7.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.7.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.10

Simplifiez

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Étape 2.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.10.2

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

Étape 2.3.12

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 2.3.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$