Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

Étape 1

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

Étape 2

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 3

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 4

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

Étape 5

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 5.1

Séparez les variables.

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Étape 5.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

Étape 5.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + \cos^{2} (V) - V$ .

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Étape 5.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

Étape 5.1.1.1.2.2

Additionnez $0$ et $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

Étape 5.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Étape 5.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Étape 5.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Étape 5.1.3.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (V)$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Étape 5.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ à $\sec^{2} (V)$ .

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.2

Comme la dérivée de $\tan (V)$ est $\sec^{2} (V)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (V)$ est $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 5.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

Étape 5.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $V$ de l’intérieur de la tangente.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Étape 6

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Étape 7

Résolvez $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ pour $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$