Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Séparez $\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{- x}{y}$

Étape 1.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} - \frac{x}{y}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Étape 1.3

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{2 y}{x}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot 2 - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot V - V^{- 1}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 \cdot V - V^{- 1}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 V - \frac{1}{V}$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = 2 V - \frac{1}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2

Soustrayez $V$ de $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} - \frac{1}{x V}$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Pour écrire $\frac{V}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V} - \frac{1}{x V}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $\frac{V}{x}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{x V} - \frac{1}{x V}$

Étape 6.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V - 1}{x V}$

Étape 6.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.4.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1} V - 1}{x V}$

Étape 6.1.2.4.2

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1} V^{1} - 1}{x V}$

Étape 6.1.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1 + 1} - 1}{x V}$

Étape 6.1.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 1}{x V}$

Étape 6.1.2.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 1^{2}}{x V}$

Étape 6.1.2.4.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = V$ et $b = 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{x V}$

Étape 6.1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{V}{(V + 1) (V - 1)}$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} (\frac{(V + 1) (V - 1)}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.5

Simplifiez

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $\frac{(V + 1) (V - 1)}{V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V x}$

Étape 6.1.5.2

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 6.1.5.2.1

Factorisez $V$ à partir de $V x$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V (x)}$

Étape 6.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V x}$

Étape 6.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

Étape 6.1.5.3

Annulez le facteur commun de $(V + 1) (V - 1)$ .

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Étape 6.1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

Étape 6.1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = (V + 1) (V - 1)$ . Alors $d u = 2 V d V$ , donc $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = (V + 1) (V - 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $(V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{d}{d V} [(V + 1) (V - 1)]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ est $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ où $f (V) = V + 1$ et $g (V) = V - 1$ .

$(V + 1) \frac{d}{d V} [V - 1] + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V - 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ .

$(V + 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(V + 1) (1 + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$(V + 1) (1 + 0) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(V + 1) \cdot 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3.4.2

Multipliez $V + 1$ par $1$ .

$V + 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V + 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$V + 1 + (V - 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1])$

Étape 6.2.2.1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + \frac{d}{d V} [1])$

Étape 6.2.2.1.1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + 0)$

Étape 6.2.2.1.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.2.1.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$V + 1 + (V - 1) \cdot 1$

Étape 6.2.2.1.1.3.8.2

Multipliez $V - 1$ par $1$ .

$V + 1 + V - 1$

Étape 6.2.2.1.1.3.8.3

Additionnez $V$ et $V$ .

$2 V + 1 - 1$

Étape 6.2.2.1.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1.1.3.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 V + 0$

Étape 6.2.2.1.1.3.8.4.2

Additionnez $2 V$ et $0$ .

$2 V$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Développez $(V + 1) (V - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V (V - 1) + 1 (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1.2.1.1

Multipliez $V$ par $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.1.4

Multipliez $V$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + V - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Additionnez $- V$ et $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.3

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| V^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| V^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| V^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| V^{2} - 1 |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| V^{2} - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 6.3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Étape 6.3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.1

Simplifiez $\ln (| V^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.4.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = V$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.3

Développez $(V + 1) (V - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.4.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{| V (V - 1) + 1 (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.1.3.4.1.1

Multipliez $V$ par $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.4.1.3

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.4.1.4

Multipliez $V$ par $1$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + V - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.4.2

Additionnez $- V$ et $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} + 0 - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.4.3

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.4.1.3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = V$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 6.3.5

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Étape 6.3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}$

Étape 6.3.7

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Étape 6.3.7.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3

Simplifiez

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Étape 6.3.7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.7.3.1.1

Simplifiez $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2}$ .

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Étape 6.3.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.7.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| (V + 1) (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.2

Développez $(V + 1) (V - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.7.3.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| V (V - 1) + 1 (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.7.3.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.7.3.1.1.3.1.1

Multipliez $V$ par $V$ .

$| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

$| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.3.1.4

Multipliez $V$ par $1$ .

$| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$| V^{2} - V + V - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.3.2

Additionnez $- V$ et $V$ .

$| V^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.1.1.3.3

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

$| V^{2} - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 6.3.7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.7.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} x^{2}$ .

$| V^{2} - 1 | = x^{2} e^{2 C}$

Étape 6.3.7.4

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.7.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$V^{2} - 1 = \pm x^{2} e^{2 C}$

Étape 6.3.7.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} + 1$

Étape 6.3.7.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} + 1}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C + 1}$

Étape 6.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$