Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $\frac{w}{25}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation avec des coefficients isolés.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{1}{25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{25}$ et $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{t}{25}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{25}$ et $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ et $w$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

Étape 3.4

Multipliez $e^{\frac{t}{25}}$ par $e^{\frac{- 1}{25} t}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Déplacez $e^{\frac{- 1}{25} t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Étape 3.4.3.2

Associez $t$ et $\frac{1}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

Étape 3.4.4

Additionnez $- \frac{t}{25}$ et $\frac{t}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

Étape 3.5

Simplifiez $10 e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ par $e^{\frac{t}{25}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ par $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{t}{25}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$