Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} y - 2 x y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $x y$ à partir de $9 x^{2} y - 2 x y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x y$ à partir de $9 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (9 x) - 2 x y$

Étape 1.1.2

Factorisez $x y$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (9 x) + x y (- 2)$

Étape 1.1.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y (9 x) + x y (- 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (9 x - 2)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (9 x - 2))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y (9 x - 2)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (9 x - 2)))$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (9 x - 2)))$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (9 x - 2)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (9 x) + x \cdot - 2$

Étape 1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x \cdot x + x \cdot - 2$

Étape 1.3.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x \cdot x - 2 \cdot x$

Étape 1.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 (x \cdot x) - 2 \cdot x$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 2 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 2 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (9 x^{2} - 2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 9 x^{2} - 2 x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 9 x^{2} - 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 2 \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $9$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} - x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 3 x^{3} - x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{3} - x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = 3 x^{3} - x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{3} - x^{2} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{3 x^{3} - x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{3 x^{3} - x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{3 x^{3} - x^{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{3 x^{3} - x^{2} + C}$ comme $e^{3 x^{3} - x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x^{3} - x^{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{3 x^{3} - x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{3} - x^{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{3 x^{3} - x^{2}}$