Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x + 3$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x + 3 d x$

Étape 1.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x d x + \int 3 d x$

Étape 1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x d x + \int 3 d x$

Étape 1.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + \int 3 d x$

Étape 1.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

Étape 1.6.2

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 3 x + C_{3}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (2 x^{2} + 3 x + C_{3}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{4} = 2 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 \int x d x + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Étape 3.3.7

Simplifiez

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Étape 3.3.7.1

Simplifiez

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Étape 3.3.7.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Étape 3.3.7.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Étape 3.3.7.2

Simplifiez

$y + C_{4} = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Étape 3.3.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{4} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C x + D$