Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x + 5$ , $y (- 1) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (9 x^{2} - 4 x + 5) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Étape 2.3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 5 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 5 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Étape 2.3.7.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $- 1$ et $y$ par $0$ dans $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ .

$0 = 3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$ .

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 3 - 2 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 3 - 2 - 5 + K = 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- 5 - 5 + K = 0$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $5$ de $- 5$ .

$- 10 + K = 0$

Étape 4.3

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 10$

Étape 5

Remplacez $K$ par $10$ dans $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $10$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 10$