Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} - 5 y}{x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{x^{3} - 5 y}{x}$ en deux fractions.

$\frac{x^{3}}{x} + \frac{- 5 y}{x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $\frac{x^{3}}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{- 5 y}{x} + \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{x}$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = - \frac{x^{3}}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = - \frac{x^{3}}{x}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = - \frac{x^{3}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 5}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 5}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 5}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{5}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{5}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{5 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- \frac{x^{3}}{x})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{5}}$ dans le numérateur.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{5}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Étape 3.4.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{3} x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{3} x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x}$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{- 1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2} x}$

Étape 3.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2} x^{1}}$

Étape 3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{2 + 1}}$

Étape 3.6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{- 1}{x^{3}}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = - \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = - \frac{1}{x^{3}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \int x^{- 3} d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 7.4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 7.4.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 7.4.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{5}} y = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 7.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{5}} y - \frac{1}{2 x^{2}} = C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{5}} y - \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

Étape 8.1.3

Associez $\frac{1}{x^{5}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Ajoutez $\frac{1}{2 x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{5}} - C = \frac{1}{2 x^{2}}$

Étape 8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{5}} = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{5}$ .

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Étape 8.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$y = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{2} x^{3} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.4

Remettez dans l’ordre $\frac{x^{3}}{2}$ et $C x^{5}$ .

$y = C x^{5} + \frac{x^{3}}{2}$