Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = - 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $t$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 16 \int t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 4 t^{2} - 1$ . Alors $d u = 8 t d t$ , donc $\frac{1}{8} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 4 t^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $4 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2} - 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t^{2} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{2}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$8 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $8 t$ et $0$ .

$8 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$s + C_{1} = 16 \int u^{3} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.3.3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{8}$ .

$s + C_{1} = 16 \int \frac{u^{3}}{8} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 16 (\frac{1}{8} \int u^{3} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $16$ .

$s + C_{1} = \frac{16}{8} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $8$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$s + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{8} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{8 (1)} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $s$ par $- 5$ dans $s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + K$ .

$- 5 = \frac{1}{2} {(4 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot {(4 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(4 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = - 5$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot {(4 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = - 5$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(4 - 1)}^{4} + K = - 5$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{4} + K = - 5$

Étape 4.2.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 + K = - 5$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $81$ .

$\frac{81}{2} + K = - 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{81}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 5 - \frac{81}{2}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$K = - 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

Étape 4.3.3

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{- 5 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{- 5 \cdot 2 - 81}{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$K = \frac{- 10 - 81}{2}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $81$ de $- 10$ .

$K = \frac{- 91}{2}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{91}{2}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{91}{2}$ dans $s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{91}{2}$ .

$s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} - \frac{91}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$s = \frac{1}{2} ({(4 t^{2})}^{4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $4 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (4^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 {(t^{2})}^{4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{4}$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{2 \cdot 4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $4 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4 (4^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $4$ par $4^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.5.1

Déplacez $4^{3}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{3} \cdot 4 {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.5.2

Multipliez $4^{3}$ par $4$ .

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Étape 5.2.2.5.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{3} \cdot 4^{1} {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{3 + 1} {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{4} {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.6

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 256 {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.7

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 256 t^{2 \cdot 3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 256 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.9

Appliquez la règle de produit à $4 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (4^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (16 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.11

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (16 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (16 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.12

Multipliez $16$ par $6$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} \cdot 1 + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $96$ par $1$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.15

Multipliez $4$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} + 16 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.16

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} + 16 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.17

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} - 16 t^{2} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.2.18

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} - 16 t^{2} + 1) - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $256 t^{8}$ .

$s = \frac{1}{2} (2 (128 t^{8})) + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{1}{2} (2 (128 t^{8})) + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$s = 128 t^{8} + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 256 t^{6}$ .

$s = 128 t^{8} + \frac{1}{2} (2 (- 128 t^{6})) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = 128 t^{8} + \frac{1}{2} (2 (- 128 t^{6})) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $96 t^{4}$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (48 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (48 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16 t^{2}$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 8 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 8 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{1}{2} - \frac{91}{2}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{1 - 91}{2}$

Étape 5.4

Soustrayez $91$ de $1$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{- 90}{2}$

Étape 5.5

Divisez $- 90$ par $2$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} - 45$